Để giải bài toán này, chúng ta sẽ giải từng phần một.

### Phần a)

Ta có phương trình:

\[
|x + \frac{1}{2}| + |x + \frac{1}{6}| + |x + \frac{1}{12}| + |x + \frac{1}{20}| + ... + |x + \frac{1}{110}| = 20x
\]

Đầu tiên, ta lưu ý rằng số lượng các số hạng là từ \(\frac{1}{2}\) đến \(\frac{1}{110}\) với bước nhảy là các số nguyên, tức là sẽ có 55 số hạng khác nhau.

Ta cần xem điều kiện nào có thể xảy ra.

#### Xét từng trường hợp cho \(x\):

1. **Trường hợp \(x \geq -\frac{1}{2}\)**:
Tất cả các giá trị tuyệt đối đều không đổi:
\[
(x + \frac{1}{2}) + (x + \frac{1}{6}) + (x + \frac{1}{12}) + ... + (x + \frac{1}{110}) = 20x
\]
Sắp xếp lại, ta được:
\[
55x + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + ... + \frac{1}{110}\right) = 20x
\]
Suy ra:
\[
35x + C = 0 \text{ (với } C = \sum_{k=1}^{55} \frac{1}{k} \text{)}
\]

Từ đó ta có:
\[
x = -\frac{C}{35}
\]

2. **Trường hợp \(x < -\frac{1}{2}\)**:
Tất cả đều đổi dấu. Tương tự như trên, nhưng ta sẽ có biểu thức sẽ giảm xuống:
\[
-\left(x + \frac{1}{2}\right) - \left(x + \frac{1}{6}\right) - ... = 20x
\]
Điều này sẽ dẫn đến một nghiệm khác.

### Phần b)

Phương trình là:

\[
x^2 + 5x + 6 = 0
\]

Để giải, ta có thể sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 6\):
1. Tính delta:
\[
\Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1
\]
2. Do đó:
\[
x = \frac{-5 \pm 1}{2}
\]
- Nghiệm 1: \(x_1 = \frac{-4}{2} = -2\)
- Nghiệm 2: \(x_2 = \frac{-6}{2} = -3\)

### Kết quả
- Phần a): Nghiệm sẽ phụ thuộc vào giá trị của T và điều kiện của x.
- Phần b): Các số thực x là \(x = -2\) và \(x = -3\).