Để tính độ dài các cạnh của tam giác \( \triangle ABC \) với các thông tin đã cho, ta sẽ sử dụng định lý lượng giác trong tam giác.

1. **Tính cạnh \( AB \)**:
Dùng định nghĩa của sin trong tam giác vuông \( ABD \):
\[
\sin B = \frac{AD}{AB}
\]
Với \( \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \):
\[
AD = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Gọi \( AB = c \), ta có:
\[
AD = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

2. **Tính cạnh \( AC \)**:
Trong tam giác \( ACD \), sử dụng định lý Pythagore:
\[
AC = AD^2 + CD^2
\]

3. **Tính \( AD \)**:
Biết \( CD = 6 \text{ cm} \) và \( BD = 3 \text{ cm} \), ta có độ dài \( AB = BD + CD = 3 + 6 = 9 \text{ cm} \).
Từ đó:
\[
AB = 9
\]
Sử dụng vào biểu thức đầu tiên:
\[
AD = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ cm}
\]

4. **Cuối cùng tìm \( AC \)**:
Tính độ dài cạnh \( AC \):
\[
AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{( \frac{9\sqrt{3}}{2})^2 + 6^2}
\]

Tính:
\[
AD^2 = \left( \frac{9\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{81 \cdot 3}{4} = \frac{243}{4}
\]
\[
CD^2 = 6^2 = 36
\]
\[
AC = \sqrt{\frac{243}{4} + 36} = \sqrt{\frac{243}{4} + \frac{144}{4}} = \sqrt{\frac{387}{4}} = \frac{\sqrt{387}}{2}
\]

### Kết quả
- \( AB = 9 \text{ cm} \)
- \( AD = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ cm} \)
- \( AC = \frac{\sqrt{387}}{2} \text{ cm} \)

Các cạnh của tam giác \( \triangle ABC \) là:
- \( AB = 9 \text{ cm} \)
- \( AC = \frac{\sqrt{387}}{2} \text{ cm} \)
- \( AD = \frac{9\sqrt{3}}{2} \text{ cm} \)