Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng công thức chuyển động đều biến đổi.

### Bước 1: Chuyển đổi tốc độ ban đầu
Tốc độ ban đầu \( v_0 = 18 \) km/h. Để chuyển đổi sang m/s, ta làm như sau:
\[
v_0 = 18 \times \frac{1000}{3600} = 5 \text{ m/s}
\]

### Bước 2: Tính thời gian
Ta có các giá trị sau:
- Chiều dài dốc (s) = 500 m
- Tốc độ ban đầu (v0) = 5 m/s
- Gia tốc (a) = 0.4 m/s²

Sử dụng công thức liên quan giữa s, v0, a và t:
\[
s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
\]
Thay các giá trị vào công thức, ta được:
\[
500 = 5t + \frac{1}{2} \cdot 0.4 \cdot t^2
\]
\[
500 = 5t + 0.2t^2
\]
Sắp xếp lại phương trình:
\[
0.2t^2 + 5t - 500 = 0
\]

### Bước 3: Giải phương trình bậc 2
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 0.2, b = 5, c = -500 \), ta tính được:
\[
b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 0.2 \cdot (-500) = 25 + 400 = 425
\]
\[
t = \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{2 \cdot 0.2}
\]
\[
t = \frac{-5 \pm 20.6155}{0.4}
\]
Ta chỉ lấy nghiệm dương:
\[
t = \frac{15.6155}{0.4} \approx 39.03875 \text{ s}
\]
Làm tròn lại, ta có:
\[
t \approx 39 \text{ s}
\]

### Bước 4: Tính tốc độ ở cuối dốc
Sử dụng công thức:
\[
v = v_0 + at
\]
Thay các giá trị vào, ta có:
\[
v = 5 + 0.4 \cdot 39
\]
\[
v = 5 + 15.6 = 20.6 \text{ m/s}
\]

### Kết luận
Thời gian để đầu tàu xuống hết dốc là khoảng 39 giây và tốc độ tàu ở cuối dốc là khoảng 20.6 m/s.