Để chứng minh và giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành các bước sau đây:

### a) Chứng minh (A, 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.

1. **Gọi các yếu tố trong bài toán:**
- Đường thẳng xy.
- Điểm A cách đường thẳng xy một khoảng 12 cm (gọi khoảng cách từ A đến xy là OA = 12 cm).
- Đường tròn (A, 13 cm) có bán kính R = 13 cm.

2. **Xét hình ảnh:**
- Vẽ đường thẳng xy.
- Vẽ điểm A nằm trên đường thẳng vuông góc với xy, cách xy một khoảng 12 cm.
- Vẽ đường tròn có tâm là điểm A và bán kính 13 cm.

3. **Sử dụng định lý về đường tròn và đường thẳng:**
- Để đường tròn (A, 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt, khoảng cách từ tâm A đến đường thẳng xy (được ký hiệu là 12 cm) phải nhỏ hơn bán kính R = 13 cm.
- Từ đó, ta có:
\[
OA < R \Rightarrow 12 cm < 13 cm.
\]
- Điều này thỏa mãn, do đó, đường tròn sẽ cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.

### b) Tính độ dài đoạn thẳng BC.

1. **Tính chiều dài đoạn BC:**
- Gọi B và C là giao điểm của đường tròn (A, 13 cm) với đường thẳng xy.
- Để tính độ dài đoạn thẳng BC, ta có thể sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông AOB (O là hình chiếu của A lên đường thẳng xy):
- OA = 12 cm (khoảng cách từ A đến xy).
- AB = R = 13 cm (bán kính của đường tròn).

2. **Sử dụng định lý Pytago:**
- Trong tam giác vuông AOB, có:
\[
AB^2 = OA^2 + OB^2.
\]
- Trong đó, OB chính là đoạn thẳng từ O đến một trong hai giao điểm B hoặc C của đường tròn với đường thẳng xy.
- Tính OB:
\[
13^2 = 12^2 + OB^2 \implies 169 = 144 + OB^2 \implies OB^2 = 25 \implies OB = 5 cm.
\]

3. **Tính BC:**
- B và C nằm đối xứng qua O, vì vậy:
\[
BC = 2 \cdot OB = 2 \cdot 5 cm = 10 cm.
\]

### Vẽ Hình

Hình vẽ sẽ như sau:

```
A
|
|12 cm
|
O----------------- xy
|
| 5 cm
|...
```

- O là hình chiếu của A lên đường thẳng xy.
- Đường thẳng xy cắt đường tròn tại hai điểm B và C, tạo thành đoạn BC có độ dài 10 cm.

### Kết luận

- Đường tròn (A, 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt, và chiều dài đoạn thẳng BC là 10 cm.