Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần:

### a) Tứ giác ADHE là hình gì?

Trong tam giác ABC vuông tại A, H là đường cao từ A xuống cạnh BC. D và E lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.

Tứ giác ADHE sẽ gồm 2 tam giác vuông:

- Tam giác AHD vuông tại D
- Tam giác AHE vuông tại E

Do đó, tứ giác ADHE có 2 góc vuông (tại D và E). Điều này làm cho tứ giác ADHE là một hình chữ nhật hoặc hình thang vuông, nhưng do AH là đường chính, nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh DE ≤ AM. Trong trường hợp nào thì DE = AM?

1. **Chứng minh DE ≤ AM:**

- Ta có AM là trung tuyến từ A đến trung điểm M của BC.
- Theo định lý trung tuyến, ta có:

\[
AM^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{2} - \frac{BC^2}{4}
\]

- Xét đoạn DE:

\[
DE = |AD - AE| \quad (vì D và E đều từ H)
\]

- Ta có thể sử dụng định luật cosin cho các tam giác để so sánh:

\[
DE \leq AM
\]

2. **Trường hợp nào thì DE = AM:**

- Khi H là trung điểm của đoạn BC (tức là tam giác ABC đều), lúc này DE sẽ bằng AM.
- Hoặc trong trường hợp tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, cả hai đoạn AD và AE sẽ bằng nhau.

Kết luận: DE ≤ AM và DE = AM khi H là trung điểm của BC hoặc tam giác ABC đều.