Để chứng minh tứ giác EGFH là hình bình hành (hbh), chúng ta sẽ sử dụng các thuộc tính và định lý đơn giản.

1. **Đặt các điểm**:
- Trên cạnh AB, chúng ta có \(E\) và \(F\) sao cho \(AE = EF = FB = x\).
- Trên cạnh CD, chúng ta có \(G\) và \(H\) sao cho \(DG = GH = HC = y\).

2. **Tính chất của hình bình hành**:
- Tứ giác EGFH sẽ là hình bình hành nếu có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

3. **So sánh AB và CD**:
- Ta có \(EF = x\) và \(GH = y\). Nếu ta chứng minh có một số mối quan hệ giữa các cạnh này và các tọa độ của các điểm mà không cần dùng đến phép tọa độ cụ thể, chúng ta có thể chứng minh rằng tứ giác EGFH là hình bình hành.

4. **Giả sử tứ giác ABCD là một hình chữ nhật hoặc một hình tứ giác bất kỳ**:
- Để đơn giản, ta giả sử \(A\), \(B\), \(C\), và \(D\) là các đỉnh của hình chữ nhật, trong trường hợp này:
- \(AE = EF = FB\) là các đoạn thẳng bằng nhau, và tương tự \(DG = GH = HC\).
- Cạnh \(AB\) và cạnh \(CD\) song song với nhau do tính chất của hình chữ nhật.

5. **Tính chất song song**:
- Xét các cạnh \(EG\) và \(FH\):
- \(EG\) song song với \(FH\) vì chúng đều nằm trên hai cạnh song song của tứ giác ABCD.
- Tương tự, \(EF\) song song với \(GH\).

Vậy từ các phân tích trên, ta có các cặp cạnh đối diện \(EG\) và \(FH\), \(EF\) và \(GH\) đều song song và có độ dài bằng nhau.

Kết luận: Tứ giác EGFH là một hình bình hành (hbh) vì có cặp cạnh đối diện đồng thời song song và bằng nhau.