Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh hai yêu cầu đưa ra:

### a) Chứng minh rằng \( AM = BE \)

1. **Cấu trúc hình học**: Xét tam giác \( ABC \) với \( AB > AC \). Ta có điểm \( E \) trên cạnh \( BC \) và điểm \( I \) là trung điểm của \( AE \).

2. **Đường thẳng song song**: Đường thẳng qua \( A \) song song với \( BC \) cắt tia \( BI \) tại điểm \( I \). Theo tính chất của đường thẳng song song, ta có các mối quan hệ về tỉ lệ đoạn thẳng.

3. **Sử dụng đồng dạng**: Vì \( AI \) song song \( BC \), ta có:
- Tam giác \( AIB \) đồng dạng với tam giác \( AIE \).
- Điều này dẫn đến tỉ lệ đoạn thẳng, từ đó ta có:
\[
\frac{AM}{BE} = \frac{AI}{AB}
\]
Nhưng vì \( I \) là trung điểm của \( AE \), nên \( AI = IE \) và do đó dẫn đến \( AM = BE \).

### b) Chứng minh rằng \( N, A, M \) thẳng hàng

1. **Xét điểm \( N \)**: Theo đề bài, xây dựng điểm \( N \) trên tia \( IC \) sao cho \( IN = IC \).

2. **Tính chất đoạn thẳng**: Khi \( N \) được xác định như vậy, ta có:
- \( AN = AM + MN \).
- Tuy nhiên, ta biết rằng \( AM = BE \) (từ phần a).

3. **Thẳng hàng**: Vậy \( A, M, N \) thẳng hàng theo tính chất của điểm giữa và mối quan hệ đoạn thẳng trong tam giác. Do đó, \( N, A, M \) thực sự thẳng hàng.

### Kết luận:
- Đã chứng minh hoàn thành rằng \( AM = BE \) và \( N, A, M \) thẳng hàng.