Để chứng minh rằng \(\angle COD = 90^\circ\), chúng ta có thể sử dụng một số tính chất cơ bản của hình học trong nửa đường tròn.

### Chứng minh \(\angle COD = 90^\circ\):

1. **Xác định điểm C và D**:
- C và D là các điểm tiếp xúc của các tiếp tuyến từ M đến nửa đường tròn tại Ax và By, theo định nghĩa thì đường thẳng MC vuông góc với bán kính OC tại C, và đường thẳng MD vuông góc với bán kính OD tại D.

2. **Tam giác OMC và OMD**:
- Ta có \(OC \perp MC\) và \(OD \perp MD\). Nên \(\angle OMC = 90^\circ\) và \(\angle OMD = 90^\circ\).

3. **Tổng hợp các yếu tố**:
- Do đó, tam giác OMC và OMD đều có chung cạnh OM và các góc vuông tại C và D, khi đó ta có:
\[
\angle COD + \angle OMC + \angle OMD = 180^\circ
\]
Nhờ đó, ta suy ra được:
\[
\angle COD = 180^\circ - \angle OMC - \angle OMD = 180^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ
\]

### Kết luận:
Từ các phân tích trên, ta chứng minh được \(\angle COD = 90^\circ\).

### Chứng minh tiếp các phần còn lại:
b) Để chứng minh \(CD = AC + BD\):
- Sử dụng tính chất của các cạnh trong tam giác và tính chất của các tiếp tuyến.

c) Để chứng minh rằng tích \(AC \cdot BD\) không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn:
- Sử dụng định lý tiếp tuyến và công thức diện tích của hình tứ giác.

Nếu bạn cần được hướng dẫn cụ thể cho từng phần, hãy cho tôi biết!