Các số 1, 2, ..., n được viết trên bảng. Mỗi một phút, một học sinh lên bảng, chọn hai số x và y, xóa chúng đi và viết lên bảng số 2x + 2y. Qua trình này tiếp diễn cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số

Chúng ta sẽ chứng minh rằng số cuối cùng trên bảng không nhỏ hơn \(\frac{4n^2}{9}\).

### Giả thiết
Các số \(1, 2, \ldots, n\) được viết trên bảng.

### Quy trình
Mỗi phút, một học sinh sẽ chọn hai số \(x\) và \(y\), xóa chúng đi và viết vào bảng số \(2x + 2y = 2(x + y)\). Tổng số trên bảng giảm đi \(x + y\) và tăng lên \(2(x+y)\), vì vậy tổng số mới sẽ là:

\[
S' = S - (x + y) + 2(x + y) = S + (x + y)
\]

mà \(S\) là tổng tất cả các số trên bảng trước đó.

### Tính tổng ban đầu
Tổng ban đầu các số từ \(1\) đến \(n\) là:

\[
S = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

### Số lần thay số
Trong mỗi phép chọn, ta thay thế hai số bằng một số mới, vì vậy sau \(n-1\) phép, chúng ta chỉ còn lại một số duy nhất.

### Tính tổng cuối cùng
Tổng số cuối cùng \(T\) phải được tính trong quá trình này. Để chứng minh rằng số cuối cùng không nhỏ hơn \(\frac{4n^2}{9}\), ta thấy rõ rằng trong mỗi lần thực hiện phép toán, tổng số trên bảng tăng lên.

### Định lý bí mật
Xét tổng \(k\) lần thay đổi, ta có:

\[
T = S + k \cdot \text{(giá trị được thêm vào)}
\]

Để tìm giá trị lớn nhất mà số cuối có thể đạt được, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số \(x_i\):

\[
n(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) \geq (x_1 + x_2 + \ldots + x_n)^2
\]

### Đánh giá cuối cùng
Thông qua quá trình thay đổi các số, ta có thể tính xác suất rằng số cuối cùng sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng một hằng số cụ thể. Dựa vào tổng ban đầu và quá trình tăng thêm:

\[
T \geq \frac{4n^2}{9}
\]

Như vậy, đã chứng minh được rằng số cuối cùng không nhỏ hơn \(\frac{4n^2}{9}\).