Tìm x nguyên, biết biểu thức M = 3x^2 - 4x -15 / x+2 thuộc Z

Chúng ta sẽ giải từng bài một nhé.

### Bài 1
Tìm x nguyên biết biểu thức \( M = \frac{3x^2 - 4x - 15}{x + 2} \) thuộc \(\mathbb{Z}\).

Để \( M \) thuộc \(\mathbb{Z}\), mẫu số không được bằng 0, nghĩa là \( x + 2 \neq 0 \) hay \( x \neq -2 \).

Ta sẽ phân tích biểu thức \( M \):
1. Thực hiện phép chia đa thức \( 3x^2 - 4x - 15 \) cho \( x + 2 \).

Sử dụng phép chia đa thức:
- Nhân \( x + 2 \) với \( 3x \):
\( 3x \cdot (x + 2) = 3x^2 + 6x \).
- giảm bớt:
\( (3x^2 - 4x - 15) - (3x^2 + 6x) = -10x - 15 \).
- Tiếp theo, nhân \( x + 2 \) với \( -10 \):
\( -10 \cdot (x + 2) = -10x - 20 \).
- Giảm bớt:
\( (-10x - 15) - (-10x - 20) = 5 \).

Vậy ta có:
\[
M = 3x - 10 + \frac{5}{x + 2}
\]

Để \( M \in \mathbb{Z} \), phần \(\frac{5}{x + 2}\) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x + 2 \) phải là ước của 5. Các ước của 5 là: \( \pm 1, \pm 5 \).

Giải hệ phương trình:
- \( x + 2 = 1 \) ⇒ \( x = -1 \)
- \( x + 2 = -1 \) ⇒ \( x = -3 \)
- \( x + 2 = 5 \) ⇒ \( x = 3 \)
- \( x + 2 = -5 \) ⇒ \( x = -7 \)

Các giá trị của \( x \) nguyên là: \( -1, -3, 3, -7 \).

### Bài 2
Tìm \( x \) nguyên dương biết biểu thức \( N = \frac{x^2 - x}{x - 3} \) thuộc \(\mathbb{Z}\).

Để \( N \in \mathbb{Z} \), mẫu số không được bằng 0, nghĩa là \( x - 3 \neq 0 \) hay \( x \neq 3 \).

Ta có thể viết lại biểu thức:
1. Nhân phần tử trong mẫu số lên:
\[
N = \frac{x(x - 1)}{x - 3}
\]

Thực hiện phép chia:
1. Chia \( x^2 - x \) cho \( x - 3 \).
- Nhân \( x - 3 \) với \( x \):
\( x \cdot (x - 3) = x^2 - 3x \).
- Giảm bớt:
\( (x^2 - x) - (x^2 - 3x) = 2x \).
- Nhân \( x - 3 \) với \( 2 \):
\( 2 \cdot (x - 3) = 2x - 6 \).
- Giảm bớt:
\( (2x) - (2x - 6) = 6 \).

Vậy ta có:
\[
N = x + 2 + \frac{6}{x - 3}
\]

Để \( N \in \mathbb{Z} \), phần \(\frac{6}{x - 3}\) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x - 3 \) phải là ước của 6. Các ước của 6 là: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \).

Giải hệ phương trình:
- \( x - 3 = 1 \) ⇒ \( x = 4 \)
- \( x - 3 = -1 \) ⇒ \( x = 2 \)
- \( x - 3 = 2 \) ⇒ \( x = 5 \)
- \( x - 3 = -2 \) ⇒ \( x = 1 \)
- \( x - 3 = 3 \) ⇒ \( x = 6 \)
- \( x - 3 = -3 \) ⇒ \( x = 0 \) (không đủ điều kiện là dương)
- \( x - 3 = 6 \) ⇒ \( x = 9 \)
- \( x - 3 = -6 \) ⇒ \( x = -3 \) (không đủ điều kiện là dương)

Các giá trị của \( x \) nguyên dương là: \( 1, 2, 4, 5, 6, 9 \).

Tóm lại:
- Bài 1: \( x = -1, -3, 3, -7 \).
- Bài 2: \( x = 1, 2, 4, 5, 6, 9 \).