Để chứng minh \( AM = AN \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các đường cao trong tam giác.

**Giả sử:**
- \( H \) là giao điểm của ba đường cao \( AD, BE, CF \).
- Gọi \( M \) là điểm trên \( HB \) sao cho \( AM \perp CM \).
- Gọi \( N \) là điểm trên \( HC \) sao cho \( AN \perp BN \).

**Chứng minh:**

1. **Xét tam giác \( AHB \) và \( AHC \):**
- Vì \( H \) là giao điểm của các đường cao, suy ra \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Do đó, \( \angle AHB = 90^\circ + \frac{C}{2} \) và \( \angle AHC = 90^\circ + \frac{B}{2} \).

2. **Sử dụng tính chất vuông góc:**
- Theo giả thiết, ta biết rằng \( AM \perp CM \) và \( AN \perp BN \).
- Điều này có nghĩa là \( \angle AMC = 90^\circ \) và \( \angle ANB = 90^\circ \).

3. **Tính diện tích của tam giác:**
- Diện tích tam giác \( AMB \) có thể được tính bằng công thức:
\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MB \cdot \sin(\angle AMB)
\]
- Chúng ta cũng có diện tích tam giác \( ANC \) như sau:
\[
S_{ANC} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot NC \cdot \sin(\angle ANB)
\]

4. **Ghi chú về tính chất đồng dạng:**
- Nhìn vào hai tam giác \( AMC \) và \( ANB \), chúng có:
- Gốc vuông tại \( M \) và \( N \).
- \( \angle AHM \) và \( \angle AHN \) là các góc đối đỉnh nên bằng nhau.

5. **Suy ra tỉ lệ:**
- Do đó, từ tính chất tương ứng và việc chúng vuông góc với các cạnh tương ứng, ta có thể thiết lập tỷ lệ:
\[
\frac{AM}{AN} = \frac{BM}{BN}
\]
- Tuy nhiên, nếu \( AM \perp CM \) và \( AN \perp BN \) đồng thời \( M \) và \( N \) trên các đoạn \( HB \) và \( HC \) tương ứng khiến cho \( BM = CN \).

6. **Kết luận:**
- Suy ra từ tỉ lệ và tính chất tam giác, ta sẽ có \( AM = AN \).

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng \( AM = AN \).