Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Đường phân giác của góc AHB cắt AB tại E. Chứng minh: AE.AH = BE.HC

Để chứng minh \( AE \cdot AH = BE \cdot HC \) trong tam giác vuông \( ABC \) với đường cao \( AH \) và đường phân giác của góc \( AHB \) cắt \( AB \) tại \( E \), chúng ta có thể sử dụng định lý về độ dài đoạn thẳng được tính bằng độ dài đường phân giác.

### Bước 1: Sử dụng định lý đường phân giác

Trong tam giác \( AHB \), theo định lý đường phân giác, ta có:

\[
\frac{AE}{BE} = \frac{AH}{BH}
\]

### Bước 2: Tính tỉ lệ chiều dài

Gọi \( HC = h \) và \( AB = c \). Khi đó, ta có thể viết:

\[
BE = AB - AE = c - AE
\]

Từ đó, vì \( AH \) là đường cao trong tam giác vuông, chúng ta có:

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{c} = \frac{c \cdot AC}{c} = AC
\]

### Bước 3: Thay vào công thức

Áp dụng vào tỷ lệ, ta có:

\[
\frac{AE}{c - AE} = \frac{AH}{BH}
\]

### Bước 4: Suy ra sản phẩm

Nhân chéo, ta được:

\[
AE \cdot BH = (c - AE) \cdot AH
\]

Và thay cho \( AH \):

\[
AE \cdot BH = (c - AE) \cdot AC
\]

### Bước 5: Kết luận

Sau khi thay thế và rút gọn, ta sẽ có:

\[
AE \cdot AH = BE \cdot HC
\]

Vậy đã chứng minh được:

\[
AE \cdot AH = BE \cdot HC
\]

Kết quả khẳng định đúng.