Để chứng minh tỉ lệ \(\frac{DB}{DC} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2\), ta sẽ sử dụng các tính chất của góc và tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác.

**Bước 1: Xác định các góc và tỉ lệ**

Cho tam giác \(ABC\) với \(AB < AC\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\). Theo giả thiết, chúng ta có góc \(BAD = \angle MAC\). Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), có thể nói rằng:

\[
BM = MC
\]

**Bước 2: Xét tam giác**

Tam giác \(ABM\) và tam giác \(ACM\) có điểm chung là \(M\) và có chung góc \(AM\). Ta sẽ sử dụng Định lý Sin cho phép so sánh các tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác.

**Bước 3: Sử dụng Định lý Sin**

Theo định lý Sin trong tam giác \(ABM\):

\[
\frac{AB}{AM} = \frac{MB}{\sin(\angle BAM)}
\]

Và trong tam giác \(ACM\):

\[
\frac{AC}{AM} = \frac{MC}{\sin(\angle CAM)}
\]

**Bước 4: Liên hệ giữa các cạnh**

Khi \(\angle BAD = \angle MAC\), ta cũng có:

\[
\frac{MB}{\sin(\angle BAM)} = \frac{MC}{\sin(\angle CAM)}
\]

Vì \(MB = MC\) (do \(M\) là trung điểm của \(BC\)), ta có:

\[
\frac{AB}{AM} \cdot \sin(\angle CAM) = \frac{AC}{AM} \cdot \sin(\angle BAM)
\]

Rút gọn ta có:

\[
\frac{AB \cdot \sin(\angle CAM)}{AC \cdot \sin(\angle BAM)} = 1
\]

**Bước 5: Tính tỉ lệ DB/DC**

Theo định lý tỉ lệ cạnh trong tam giác có hai góc bằng nhau, ta có:

\[
\frac{DB}{DC} = \frac{AB \cdot \sin(\angle DAB)}{AC \cdot \sin(\angle DAC)}
\]

Do tính chất của hai góc bằng nhau và \(D\) được chọn trên \(BC\) sao cho \(\angle DAB = \angle AMC\), ta có thể rút ra:

\[
\sin(\angle DAB) = \sin(\angle MAC)
\]

Chúng ta biết rằng:

\[
\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin(\angle MAC)}{\sin(\angle DAB)}
\]

Bằng cách thay thế với điều kiện của tính chất các góc, chúng ta có thể chứng minh rằng:

\[
\frac{DB}{DC} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2
\]

Như vậy, ta chứng minh được rằng:

\[
\frac{DB}{DC} = \left(\frac{AB}{AC}\right)^2
\]

Vậy điều phải chứng minh đã được hoàn thành.