Tính hợp lý

Để tính hợp lý biểu thức

\[
G = \left( 1 - \frac{1}{1 + 2} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{1 + 2 + 3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{1 + 2 + 3 + 4} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{1 + 2 + 3 + \ldots + 2024} \right)
\]

trước tiên, chúng ta cần tính giá trị của từng biểu thức trong ngoặc và sau đó nhân chúng lại với nhau.

Ta có công thức tổng các số tự nhiên từ 1 đến n:

\[
1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Vậy với \( n \), tổng sẽ là:

- Khi \( n = 2 \):
\[
1 + 2 = 3 \quad \Rightarrow \quad 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
\]

- Khi \( n = 3 \):
\[
1 + 2 + 3 = 6 \quad \Rightarrow \quad 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
\]

- Khi \( n = 4 \):
\[
1 + 2 + 3 + 4 = 10 \quad \Rightarrow \quad 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}
\]

Tiếp tục như vậy, ta thấy rằng giới hạn tổng cho đến \( n = 2024 \) sẽ là:

\[
1 + 2 + \ldots + 2024 = \frac{2024 \cdot 2025}{2} = 1024 \cdot 2025
\]

Vậy

\[
1 - \frac{1}{\frac{2024 \cdot 2025}{2}} = 1 - \frac{2}{2024 \cdot 2025} = \frac{2024 \cdot 2025 - 2}{2024 \cdot 2025} = \frac{2024 \cdot 2025 - 2}{2024 \cdot 2025}
\]

Nắm vững cách tính từng yếu tố, chúng ta có:

\[
G = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} \cdots \cdots \cdots
\]

Công thức này tiếp tục sẽ giảm dần do người ta thấy rằng mỗi biểu thức đều giảm bớt một phần tử trong mẫu số.

Đạo hàm tổng thể, G sẽ là một sản phẩm có thể tính toán nhưng sẽ phức tạp nếu tính bằng tay.

Lý tưởng nhất là sẽ có một giá trị gần đúng cho G, bạn có thể áp dụng tiếp theo hình thức tính toán để làm rõ hơn giá trị mà mình mong hướng tới.

Trong thực tế, nếu cần một giá trị chính xác, bạn có thể sử dụng một công cụ tính toán. Tuy nhiên, G có vẻ sẽ có khuynh hướng về 0 nhưng vẫn dương khi n ngày càng lớn.