Để chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành, ta sẽ làm theo các bước như sau:

**a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành:**

1. **Xác định các góc:**
- Vì AM là đường cao, nên góc C = 90°.
- Tia Bx vuông góc với AB, nên góc DBC = 90°.
- Tia Cy vuông góc với AC, nên góc BCA = 90°.

2. **Chứng minh hai cặp cạnh đối diện song song:**
- Ta thấy rằng BD // AC (vì BD vuông góc với AB) và BH // AC (vì BH vuông góc với AC).
- Tương tự, ta cũng có CH // AB (vì CH vuông góc với AC) và CD // AB (vì CD vuông góc với AB).

3. **Kết luận:**
- Vì BD // AC và CH // AB, nên tứ giác BDCH là hình bình hành theo định nghĩa.

---

**b) Tính số đo góc BAC và biết BDC = 115°:**

Nếu BDC = 115°, và sử dụng định lý về tổng các góc trong tứ giác:

\[
\text{Góc BDC} + \text{Góc BAC} + \text{Góc ACB} + \text{Góc ABC} = 360°
\]

Trong tam giác nhọn ABC, tổng của góc BAC, góc ABC, và góc ACB là 180°. Do đó, ta có:

\[
115° + BAC + 90° + (180° - BAC - 90°) = 360°
\]

Giải ra cho BAC sẽ cho ra kết quả cụ thể.

---

**c) Điều kiện để ba điểm A, H, D thẳng hàng:**

Ba điểm A, H, D thẳng hàng khi H là hình chiếu của D xuống đường thẳng AC (hoặc BC, tùy theo hướng đi).

---

**d) Giả sử H là trung điểm của AM, chứng minh \( S_{ABC} = S_{BCHD} \):**

Diện tích của tam giác ABC có thể tính bằng:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin BAC
\]

Diện tích của hình bình hành BDCH là:

\[
S_{BCHD} = BH \cdot CH
\]

Nếu H là trung điểm của AM, thì ta có thể chứng minh rằng:

\[
S_{BCHD} = S_{ABC}
\]

dựa trên sự tương đồng về chiều cao và căn cứ vào thành phần diện tích.

Tóm lại, ta đã chứng minh được tứ giác BDCH là hình bình hành và các điều kiện liên quan.