Để chứng minh \( K, O, I \) thẳng hàng, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Xác định vị trí điểm \( I \)**:
- Vì \( I \in AB \) và \( AI = 2IB \), ta có thể chỉ ra rằng điểm \( I \) chia đoạn \( AB \) theo tỷ lệ \( 2:1 \). Do đó, \( I \) nằm gần \( B \) hơn.

2. **Điểm đối xứng \( K \)**:
- Điểm \( K \) là điểm đối xứng của \( A \) qua \( D \), có nghĩa là \( D \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AK \).

3. **Tính toán tọa độ**:
- Giả sử tọa độ các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)

- Điểm \( O \) (tâm hình bình hành) sẽ có tọa độ:
\[
O\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

- Tọa độ của điểm \( I \) được tính như sau:
\[
I\left(\frac{2a}{3}, 0\right)
\]

- Tọa độ của điểm \( K \), bởi vì \( D \) là trung điểm của \( AK \), có thể tính được là:
\[
K\left(0, 2b\right)
\]

4. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Để chứng minh ba điểm \( K, O, I \) thẳng hàng, chứng minh rằng độ dốc của đoạn thẳng \( KO \) bằng độ dốc của đoạn thẳng \( OI \).
- Tính độ dốc \( KO \):
\[
d_{KO} = \frac{y_K - y_O}{x_K - x_O} = \frac{2b - \frac{b}{2}}{0 - \frac{a}{2}} = \frac{2b - \frac{b}{2}}{-\frac{a}{2}} = \frac{\frac{3b}{2}}{-\frac{a}{2}} = -\frac{3b}{a}
\]

- Tính độ dốc \( OI \):
\[
d_{OI} = \frac{y_O - y_I}{x_O - x_I} = \frac{\frac{b}{2} - 0}{\frac{a}{2} - \frac{2a}{3}} = \frac{\frac{b}{2}}{\frac{3a}{6} - \frac{4a}{6}} = \frac{\frac{b}{2}}{-\frac{a}{6}} = -\frac{3b}{a}
\]

- Vì \( d_{KO} = d_{OI} \), ta suy ra rằng ba điểm \( K, O, I \) thẳng hàng.

Vậy, \( K, O, I \) là thẳng hàng.