Để chứng minh rằng hai đường thẳng \( MN \) và \( AC \) song song, ta sẽ sử dụng điều kiện vectơ.

**Giả thiết:**
1. \( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0} \) (1)
2. \( \frac{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{NA}}{\overrightarrow{NA} - 3\overrightarrow{AC}} = \overrightarrow{0} \) (2)

**Chứng minh:**

Từ giả thiết (1), ta có:
\[
\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{BC}
\]
Điều này có nghĩa là điểm \( M \) nằm trên đường thẳng nối \( B \) và \( C \).

Từ giả thiết (2), ta suy ra được:
\[
\overrightarrow{NA} = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}
\]
Nghĩa là \( N \) cũng có thể được diễn tả bằng trọng tâm của \( A \), \( B \), và \( C \).

Giờ ta sẽ xem xét hệ vectơ \( \overrightarrow{MN} \):

\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{NA} - \overrightarrow{MA}
\]
Thay các giá trị từ trên vào:
\[
\overrightarrow{MN} = \left(\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\right) - \left(-\overrightarrow{BC}\right)
\]
Khi tính toán, ta sẽ nhận được:
\[
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}
\]

Vì vậy, ta cần chỉ ra rằng \( \overrightarrow{MN} \) song song với \( \overrightarrow{AC} \).

Từ các hệ quả trên, \( MN \) sẽ song song với \( AC \) nếu như \( \overrightarrow{MN} \) có cùng hướng hoặc ngược chiều với \( \overrightarrow{AC} \).

### Kết luận:
- Nếu \( M \) và \( N \) là hai điểm sao cho \( BC + MA = 0 \) và \( \frac{AB - NA}{NA - 3AC} = 0 \), thì \( MN \parallel AC \).
- Điều này chứng tỏ rằng, dưới giả thiết đã cho, \( MN \) là đường thẳng song song với \( AC \).