Để tìm giá trị của \( m \) sao cho bất phương trình \( m^4 + 2m^3 + 5m^2 + 5m + 3 > 0 \) đúng, chúng ta sẽ phân tích đa thức bên trái.

Đầu tiên, hãy xem xét biểu thức \( P(m) = m^4 + 2m^3 + 5m^2 + 5m + 3 \).

Ta sẽ phân tích hệ số và tìm nghiệm của đa thức này. Hệ số của \( m^4 \) là 1, do đó khi \( m \) lớn (dương), \( P(m) \) sẽ dương.

Tiếp theo, ta sẽ xem xét giá trị của \( P(m) \) tại một số giá trị cụ thể để xác định điểm nào có thể là nghiệm và xem xét dấu của biểu thức này.

- Tại \( m = 0 \):
\[
P(0) = 0^4 + 2 \times 0^3 + 5 \times 0^2 + 5 \times 0 + 3 = 3 > 0
\]

- Tại \( m = -1 \):
\[
P(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 + 5(-1)^2 + 5(-1) + 3 = 1 - 2 + 5 - 5 + 3 = 2 > 0
\]

- Tại \( m = -2 \):
\[
P(-2) = (-2)^4 + 2(-2)^3 + 5(-2)^2 + 5(-2) + 3 = 16 - 16 + 20 - 10 + 3 = 13 > 0
\]

- Tại \( m = -3 \):
\[
P(-3) = (-3)^4 + 2(-3)^3 + 5(-3)^2 + 5(-3) + 3 = 81 - 54 + 45 - 15 + 3 = 60 > 0
\]

- Tại \( m = -4 \):
\[
P(-4) = (-4)^4 + 2(-4)^3 + 5(-4)^2 + 5(-4) + 3 = 256 - 128 + 80 - 20 + 3 = 191 > 0
\]

Ta có thể thấy rằng với các giá trị thử nghiệm trên, \( P(m) \) luôn dương.

Để khẳng định rằng \( P(m) > 0 \) với mọi giá trị của \( m \), ta có thể tìm nghiệm của nó qua đạo hàm hoặc bằng cách kiểm tra giới hạn của hàm tại \( m \to -\infty \) và \( m \to +\infty \).

Dễ thấy rằng:
- Khi \( m \to +\infty \), \( P(m) \to +\infty \).
- Khi \( m \to -\infty \), \( P(m) \to +\infty \) vì bậc cao nhất dương.

Ngoài ra, hàm bậc 4 với hệ số dẫn đầu dương không có nghiệm thực (không giao trục hoành) và biểu thức luôn dương.

Do đó, \( P(m) > 0 \) với mọi \( m \).

Vậy nghiệm tổng quát của bất phương trình là:
\[
\boxed{(-\infty, +\infty)}
\]