Từ hằng đẳng thức đã cho, ta có:

23=1+13=13+3.12+3.1+1

33=2+13=23+3.22+3.2+1

43=3+13=33+3.32+3.3+1

...................................

n+13=n3+3.n2+3.n+1

Cộng từng vế n đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được n+13=13+312+22+32+...+n2+31+2+3+...+n+n

Do đó

312+22+32+...+n2=n+13−3nn+12−n+1

3S=n+1n+12−3n2−13S=n+1n2+n23S=12nn+12n+1

Vậy S=16nn+12n+1