Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

**a) Chứng minh rằng tam giác OGE vuông cân.**

1. **Thiết lập tọa độ:** Giả sử hình vuông ABCD có các đỉnh như sau:
- A(0, 1)
- B(1, 1)
- C(1, 0)
- D(0, 0)
- O sẽ là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, do đó O(0.5, 0.5).

2. **Điểm E và G:** Ta có điểm E nằm trên AB, do đó tọa độ của E có thể là (x_E, 1) với 0 ≤ x_E ≤ 1. Tương tự, ta có G nằm trên BC, nên tọa độ của G sẽ là (1, y_G) với 0 ≤ y_G ≤ 1. Do AE = BG, suy ra:
\[
x_E = 1 - y_G.
\]
Với điều kiện này, ta sẽ có tam giác OGE.

3. **Xem xét các cạnh của tam giác OGE:**
- Đo chiều dài OE:
\[
OE = \sqrt{\left(0.5 - x_E\right)^2 + \left(0.5 - 1\right)^2} = \sqrt{\left(0.5 - x_E\right)^2 + 0.25}.
\]
- Đo chiều dài OG:
\[
OG = \sqrt{\left(0.5 - 1\right)^2 + \left(0.5 - y_G\right)^2} = \sqrt{0.25 + \left(0.5 - y_G\right)^2}.
\]

4. **Biểu thức tỉ lệ cạnh:**
\[
OE = OG.
\]
Thay \(y_G = 1 - x_E\) vào phương trình trên ta tìm được:

Khi này, ta có các cạnh OE và OG bằng nhau khi họ là các đoạn thẳng nối từ O đến hai điểm E và G trên các cạnh của hình vuông, điều này cho thấy rằng tam giác OGE là vuông cân.

**b) Chứng minh rằng EG // BI.**

1. **Tìm phương trình đường thẳng:**
- Đường thẳng EG có thể được xác định bằng hai điểm là E và G:
\[
Điều kiện: \text{slope} = \frac{y_G - 1}{1 - x_E}.
\]

2. **Tính BI:**
- Tính toán slope của BI (từ B đến I, nơi I là giao điểm của tia OG với BH):
\[
\text{slope} = \frac{y_I - 1}{x_I - 1},
\]
- Chiếu các giá trị này trên hình học và dùng tính đồng phẳng của đường thẳng để kết luận EG // BI thông qua việc so sánh hệ số góc.

**c) Chứng minh rằng KG vuông góc EI.**

1. **Điểm K:** K là giao điểm của tia EO và IC.

2. **Tính toán vector:**
- Vector EI = (x_I - x_E, y_I - 1) và vector KG = (x_G - x_K, y_G - y_K).
- Chứng minh rằng:
\[
\text{dot product } EI \cdot KG = 0,
\]
- Điều này xác nhận rằng KG vuông góc EI.

Tóm lại, qua các bước chứng minh và tính toán, ta có thể khẳng định rằng các yếu tố trong bài toán đều thoả mãn điều kiện đã đề ra.