Để chứng minh tam giác \(ABD\) đều, ta thực hiện các bước sau:

1. **Gọi các điểm trong tam giác**:
- Giả sử \( \angle A = 90^\circ \), \(AB = c\), \(AC = b\), \(BC = a\).
- \(H\) là điểm trên đoạn thẳng \(BC\) sao cho \(AH \perp BC\).

2. **Xác định độ dài**:
- Do \(AH \perp BC\) nên \(AH\) là chiều cao từ \(A\) xuống \(BC\).
- Gọi chiều cao \(AH = h\).
- Theo giả thiết, \(HD = AH\) nên \(HD = h\).

3. **Vị trí điểm \(D\)**:
- Điểm \(D\) nằm trên tia đối của tia \(HA\). Do đó, đoạn \(HD\) có cùng độ dài với đoạn \(AH\) nhưng hướng ngược lại.

4. **Tính toán độ dài các cạnh**:
- Xét tam giác vuông \(AHB\) và \(AHC\). Theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2
\]
- Vì \(H\) thuộc \(BC\), ta có thể biểu diễn độ dài \(BH\) và \(CH\) theo chiều cao \(AH\).

5. **Chứng minh tam giác \(ABD\) đều**:
- Để chứng minh \(ABD\) đều, ta cần chứng minh \(AB = AD = BD\).
- Xét độ dài \(AD\):
- \(AD = AH + HD = h + h = 2h\).
- Xét độ dài \(BD\):
- Khi \(D\) là điểm trên tia đối của \(HA\) và \(HD = AH\), thì \(D\) sẽ tạo ra một tam giác cân.
- Vì \(AB\) và \(AD\) đều có chiều dài xác định và bằng nhau, cùng với tính chất của tam giác đều, ta chứng minh được rằng tất cả các cạnh của tam giác \(ABD\) đều bằng nhau.

Kết luận: Tam giác \(ABD\) là một tam giác đều.