Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC= CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM (gt)

∠A = ∠B = 900

AP = BQ (gt)

Do đó: △ APQ = △ BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1)

Xét △ BQM và △CMN:

BM = CN (gt)

∠B = ∠C = 900

BQ = CM (gt)

Do đó: △ BQM = △CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2)

Xét △ CMN và △ DNP:

CN = DP (gt)

∠C = ∠D = 900

CM = DN (gt)

Do đó: △CMN = △DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM

nên tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên △APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên △BMQ vuông cân tại B

⇒ ∠(AQP) = ∠(BQM) = 450

∠(AQP) + ∠(PQM) + ∠(BQM) = 1800 (kề bù)

⇒ ∠(PQM) = 1800 - ( ∠(AQP) + ∠(BQM) )

            = 1800- (450 +450) = 900

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.