Để tính giá trị của biểu thức \( M = (x+y)^{2021} + (x-2)^{2022} + (y+1)^{2023} \), trước tiên, chúng ta cần tìm các giá trị của \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình sau:

\[
5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0
\]

Đầu tiên, chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình:

\[
5x^2 + 8xy + 5y^2 - 2x + 2y + 2 = 0
\]

Phương trình này có thể được coi là một phương trình bậc hai theo \( x \):

\[
5x^2 + (8y - 2)x + (5y^2 + 2y + 2) = 0
\]

Để \( x \) có nghiệm thực, điều kiện trên delta phải thỏa mãn \( \Delta \geq 0 \):

\[
\Delta = (8y - 2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (5y^2 + 2y + 2) \geq 0
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ giải việc này để tìm giá trị của \( y \). Tuy nhiên, để đơn giản hóa, chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên cho \( x \) và \( y \).

### Phân tích và thử nghiệm

Thử \( y = -1 \):

\[
5x^2 + 8(-1)x + 5(-1)^2 - 2x + 2(-1) + 2 = 0
\]
\[
5x^2 - 8x + 5 - 2x - 2 + 2 = 0
\]
\[
5x^2 - 10x + 5 = 0
\]
\[
5(x^2 - 2x + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad 5(x-1)^2 = 0
\]

Như vậy, \( x = 1 \) và \( y = -1 \) là một cặp nghiệm của phương trình.

### Tính giá trị của \( M \)

Thay các giá trị \( x = 1 \) và \( y = -1 \) vào biểu thức \( M \):

\[
M = (1 + (-1))^{2021} + (1-2)^{2022} + ((-1)+1)^{2023}
\]
\[
M = 0^{2021} + (-1)^{2022} + 0^{2023}
\]
\[
M = 0 + 1 + 0 = 1
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là:

\[
\boxed{1}
\]