a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
(a + b) ≥ 2√ab
(b + c) ≥ 2√bc
(c + a) ≥ 2√ca
Vì a,b,c > 0 nên nhân vế với vế 3 BĐT trên ta được:
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8√a^2b^2c^2 =8abc (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

b) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
a+b+c ≥ 3. căn bậc ba (abc)
a^2+b^2+c^2 ≥ 3. căn bậc ba (a^2b^2c^2)
Vì a,b,c > 0 nên nhân vế với vế 3 BĐT trên ta được:
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) ≥ 9abc (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

c) (1+a)(1+b)(1+c)
=(1+b+a+ab)(1+c)
=1+c+b+bc+a+ac+ab+abc
=abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
ab+bc+ca ≥ 3. căn bậc ba (ab.bc.ca) = 3. căn bậc ba (a^2b^2c^2)
a+b+c ≥ 3. căn bậc ba (abc)
Suy ra
abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1
≥ abc + 3. căn bậc ba (a^2b^2c^2) + 3. căn bậc ba (abc) +1
= (1+ căn bậc ba(abc) )^3 (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

d) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
bc/a + ca/b ≥ 2√ bc/a . ca/b =2√c^2=2c
Tương tự: ab/c+bc/a ≥ 2b
ca/b+ab/c ≥ 2a
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
2(ab/c+bc/a+ca/b) ≥ 2(a+b+c)
<=> ab/c+bc/a+ca/b) ≥ a+b+c (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

e) a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)
=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2
Áp dụng BĐT Am-Gm cho 6 số ta có:
a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2 ≥ 6. căn bậc 6(a^6b^6c^6)=6abc (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

f) Áp dụng BĐT Am-Gm ta có:
+) a+b≥ 2 căn ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
<=> (a+b)/4 >= ab/(a+b)
+) b+c ≥ 2 căn bc
<=>(b+c)^2 >= 4bc
<=> (b+c)/4 >= bc/(b+c)
+) c+a ≥ 2 căn ca
<=> (c+a)^2 >= 4ca
<=> (c+a)/4 >= ca/(c+a)
Cộng vế với vế 3 BDDT trên ta được:
ab\(a+b) + bc\(b+c) +ca\(c+a) ≤ (a+b+c)\2
Dấu = xảy ra <=> a=b=c

g) a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
=a/(b+c)+1 + b/(c+a)+1 + c/(a+b)+1 -3
=(a+b+c)/(b+c)+(b+c+a)/(c+a)+(c+a+b)/(a+b)-3
=(a+b+c)(1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) -3
Áp dụng BĐT bổ đề 1/x+1/y+1/z≥ 9/x+y+z với x,y,z >0 ta được:
1/b+c + 1/c+a + 1/a+b
≥ 9/(b+c+c+a+a+b)
=9/2(a+b+c)
Suy ra
(a+b+c)(1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) -3
≥ (a+b+c).9/2(a+b+c)-3
=9/2-3=3/2
Hay a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≥ 3/2
Dấu = xảy ra <=> a=b=c