Để tìm số tự nhiên \( x \) từ phương trình:

\[
15(x + 2)^2 - 5^3 = 2 \cdot 5^3
\]

Bước 1: Tính giá trị của \( 5^3 \).

\[
5^3 = 125
\]

Bước 2: Thay giá trị vào phương trình.

\[
15(x + 2)^2 - 125 = 2 \cdot 125
\]

Bước 3: Tính \( 2 \cdot 125 \).

\[
2 \cdot 125 = 250
\]

Bây giờ, phương trình trở về:

\[
15(x + 2)^2 - 125 = 250
\]

Bước 4: Cộng 125 vào cả hai phía.

\[
15(x + 2)^2 = 250 + 125
\]

\[
15(x + 2)^2 = 375
\]

Bước 5: Chia cả hai phía cho 15.

\[
(x + 2)^2 = \frac{375}{15}
\]

\[
(x + 2)^2 = 25
\]

Bước 6: Lấy căn bậc hai của cả hai phía.

\[
x + 2 = 5 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = -5
\]

Chỉ có trường hợp \( x + 2 = 5 \) là hợp lệ, vì \( x \) là số tự nhiên. Bây giờ giải cho \( x \):

\[
x + 2 = 5 \implies x = 5 - 2 = 3
\]

Vậy số tự nhiên \( x \) là \( 3 \).