a) Do tứ giác ABCD  là hình bình hành nên AD=BC,  AD // BC .

Vì AD=BC,BE=12BC và AF=12AD  (do F là trung điểm của AD)  nên BE=AF.

Tứ giác ABEF  có BE = AF  và BE // AF  (vì AD // BC)

Suy ra, tứ giác ABEF  là hình bình hành.

Do E  là trung điểm của BC  nên BE=12BC  hay BC=2BE.

Vì BC=2AB  và BC=2BE  nên AB=BE .

Hình bình hành ABEF  có AB = BE  nên ABEF  là hình thoi.

b) Vì tứ giác ABCD  là hình bình hành nên AB=CD,  AB // CD .

Vì AB=CD  và AB=BI  (do B  là trung điểm của AI)  nên BI = CD .

Tứ giác BICD  có BI // CD  (vì AB // CD )  và BI = CD  nên tứ giác BICD  là hình bình hành.

Ta thấy BD  vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác ADI  nên tam giác ADI  cân tại D .

Suy ra BD  cũng là đường cao của tam giác ADI  nên BD⊥BI  hay DBI^=90°.

Hình bình hành BICD  có DBI^=90°  nên tứ giác BICD  là hình chữ nhật.

Khi đó, E  là trung điểm của hai đường chéo BC  và DI .

Tam giác ADI  cân tại D  có DAI^=60°  nên tam giác ADI  là tam giác đều.

ΔADI là tam giác đều có AE  là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, AE⊥DI  hay AED^=90° .