Cách 1: • Ta có:a2a2+b+b2b2+a≤1   1

• Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a và b ta có:

2≥a+b≥2ab⇒ab≤1⇔ab≤1⇒a2b2≤ab. Do đó (2) đúng.

Vì bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng (đpcm).

Dấu "=" xảy ra ⇔a+b=2a=b⇔a=b=1.

Cách 2: Ta có a2a2+b=1−ba2+b;b2b2+a=1−ab2+a.

⇒a2a2+b+b2b2+a=2−ba2+b+ab2+a.

Ta chứng minh ba2+b+ab2+a≥1.

Ta có VT=ba2+b+ab2+a=b2a2b+b2+a2b2a+a2≥a+b2a2b+b2+b2a+a2≥a+b22ab+b2+a2=2.

Do đó a2a2+b+b2b2+a≤1.

Dấu "=" xảy ra ⇔a+b=2a=b⇔a=b=1.