Cho đường tròn (O;R) và điểm A sao cho OA > 2R vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (B, C là các tiếp điểm), kẻ dây cung BD song song với AC. Đường thẳng AD cắt (O;R) tại điểm EE≠D. Gọi I là trung điểm của DE
1) Chứng minh năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.
2) Đường thẳng BC cắt OA, AD lần lượt tại H và K. Gọi F là giao điểm của BE và AC Chứng minh AK.AI = AH.AO và tam giác AFE đồng dạng với tam giác BFA
3) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Xét đường tròn (O) có:
• DE là dây không đi qua tâm O và I là trung điểm của DE
Suy ra OI⊥DE tại I (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) nên AIO^=90°.
• AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AB⊥OB, AC⊥OC (tính chất tiếp tuyến)
Suy ra ABO^=ACO^=90°. Do đó ABO^=ACO^=AIO^=90°.
Vậy năm điểm A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn đường kính AO
b) Xét đường tròn (O;R) có AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà OB=OC=R nên OA là đường trung trực của BC
Do đó OA⊥BC tại H hay AHK^=90°.
Xét ΔAHK và ΔAIO có: AHK^=AIO^=90° và HAK^ là góc chung
Do đó ΔAHK∽ΔAIO (g.g). Suy ra AHAI=AKAO hay AK⋅AI=AH⋅AO.
Ta có BD // AC nên BDE^=FAE^ (hai góc so le trong)
Mà BDE^=FBA^ (cùng chắn EB⏜ của O;R) nên FAE^=FBA^.
Xét ΔAFE và ΔBFA có: AFE^ là góc chung và FAE^=FBA^.
Do đó ΔAFE∽ΔBFA (g.g).
c) Ta có ΔAFE∽ΔBFA (câu b) suy ra FEFA=FAFB hay FA2=FB⋅FE. 1
Xét ΔFEC và ΔFCB có: EFC^ là góc chung và FCE^=FBC^ (cùng chắn EC⏜ của O;R)
Do đó ΔFEC∽ΔFCB (g.g). Suy ra FEFC=FCFB hay FC2=FB⋅FE. 2
Từ (1) và (2) suy ra FA2=FC2 nên FA = FC. Do đó F là trung điểm của đoạn thẳng AC
Gọi G là giao điểm của FK và BD
Ta có BG // FC suy ra BGFC=KGKF (hệ quả định lí Thalès);
DG // AF suy ra DGAF=KGKF (hệ quả định lí Thalès).
Suy ra BGFC=DGAF mà AF = CF nên BG = DG. Do đó G là trung điểm của BD
Kéo dài AB cắt D tại J. Gọi G' là giao điểm của JF và BD.
• Xét ΔJAF có BG' // AF nên ta có: BG'AF=JG'JF (hệ quả định lí Thalès);
• Xét ΔJFC có DG' // CF nên ta có: DG'CF=JG'JF (hệ quả định lí Thalès).
Do đó BG'AF=DG'CF mà AF = CF nên BG' = DG'
Khi đó G' là trung điểm của BD nên G'≡G.
Do đó ba điểm F, K, J thẳng hàng.
Vậy ba đường thẳng AB, CD, FK đồng quy.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |