Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có đường cao AH và nội tiếp đường tròn (O). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC. Đường kính AD của (O) cắt EF tại K và DH cắt (O) tại L (L khác D).
a) Chứng minh các tứ giác AEHF và ALHF nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác BÈC nội tiếp và AD vuông góc với EF tại K.
c) Tia FE cắt (O) tại P và cắt BC tại M. Chứng minh AP = AH và ba điểm A, L, M thẳng hàng.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Ta có: HE⊥AB, HF⊥AC nên AEH^=AFH^=90°.
Tứ giác AEHF có AEH^, AFH^ là hai góc đối và AEH^+ AFH^=90°+90°=180° nên tứ giác AEHF nội tiếp.
Do AD là đường kính của đường tròn (O) nên ALD^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tứ giác ALHF có ALH^, AFH^ là hai góc đối và ALH^+ AFH^=90°+90°=180° nên tứ giác ALHF nội tiếp.
b) Ta có: AH⊥BC và HE⊥AB nên EBH^=90°−BHE^=AHE^.
Mà AHE^=AFE^ (do tứ giác AEHF nội tiếp).
Suy ra AFE^=EBC^ (1).
Tứ giác BEFC có góc ngoài tại đỉnh F bằng góc trong tại đỉnh B nên tứ giác BEFC nội tiếp.
Trong đường tròn (O), ta có ABC^=ADC^ (hai góc nội tiếp chắn cung AC) (2).
Từ (1) và (2) suy ra AFE^=ADC^ hay AFK^=KDC^.
Tứ giác CDKF có góc ngoài tại đỉnh F bằng góc trong tại đỉnh D nên tứ giác CDKF nội tiếp.
Suy ra DKF^+CKF^=180°.
Mặt khác ACD^=90° (do AD là đường kính của (O)).
Từ đó suy ra DKF^=90°. Suy ra AD⊥EF tại K.
c) Tứ giác APBC nội tiếp đường tròn (O) nên APC^=ABC^. (3)
Từ (1) và (3) suy ra APC^=AFE^.
Do đó, hai tam giác APF và ACP đồng dạng (g.g).
Suy ra APAC=AFAP.
Nên AP2=AC.AF.
Lại có AH2=AC.AF (áp dụng hệ thức lượng trong ΔACH vuông tại H có đường cao HF).
Do đó, AP2=AH2. Suy ra AP = AH.
Vì các tứ giác AEHF, ALHF nội tiếp nên năm điểm A, E, F, H, L cùng thuộc một đường tròn.
Suy ra tứ giác ALEF nội tiếp.
Từ đó suy ra MEL^=LAF^ (cùng bù với LEF^).
Lập luận tương tự với tứ giác nội tiếp ALBC, ta có MBL^=LAC^.
Từ hai điều trên, suy ra MBL^=MEL^.
Tứ giác MBEL có hai đỉnh kề nhau là B, E cùng nhìn cạnh ML dưới hai góc bằng nhau nên tứ giác MBEL nội tiếp.
Suy ra MLE^=EBC^ (cùng bù với MBE^). (4)
Từ (1) và (4) suy ra MLE^=AFE^.
Lại có AFE^+ALE^=180° (do tứ giác ALEF nội tiếp).
Do đó, MLE^+ALE^=180°.
Vậy ba điểm A, I, M thẳng hàng.
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |