Để chứng minh các kết luận trong bài toán, ta thực hiện như sau:

**Giả thiết:**
Trong tam giác ABC, AI là đường cao và cùng là đường phân giác.

**Kết luận:**
a. Tam giác ABC là tam giác cân.
b. AI là trung tuyến.

### Chứng minh:

1. **Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân:**
- Đầu tiên, xét hai tam giác AIB và AIC.
- Vì AI là đường cao, nên \( \angle AIB = \angle AIC = 90^\circ \).
- AI cũng là đường phân giác, nghĩa là:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BI}{CI}
\]

- Do đó, trong hai tam giác vuông AIB và AIC, ta có:
- \( \angle AIB = \angle AIC \)
- \( AI \) chung cho cả hai tam giác.

- Từ đó, theo định lý đồng dạng, \( AB = AC \), suy ra tam giác ABC là tam giác cân.

2. **Chứng minh AI là trung tuyến:**
- Vì AI là đường phân giác, và tổng độ dài AB và AC bằng nhau (do tam giác ABC là cân),
- Cho nên, điểm I (điểm trên BC mà AI cắt) là điểm giữa của đoạn thẳng BC,
- Do đó, AI không chỉ là đường phân giác mà còn là trung tuyến.

### Kết luận:
- a. Tam giác ABC là tam giác cân.
- b. AI là trung tuyến.

Bằng cách này, ta đã hoàn tất việc chứng minh các kết luận từ giả thuyết ban đầu.