Để chứng minh tam giác ABC là cân và AI là đường cao, ta sẽ sử dụng các tính chất của trung tuyến và phân giác.

### Chứng minh:

**Giả sử:**

- \( I \) là điểm trong tam giác ABC, sao cho \( AI \) là trung tuyến và đồng thời là phân giác.

**Bước 1: Chứng minh tam giác ABC là cân.**

1. **Xét hai tam giác AID và AIE**:
- \( D \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- \( I \) nằm trên \( AD \), và \( AI \) là phân giác của góc \( A \).

2. **Áp dụng định lý phân giác**:
- Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
- Vì \( D \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BD = DC \). Từ đó, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = 1 \Rightarrow AB = AC
\]
- Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.

**Bước 2: Chứng minh AI là đường cao.**

1. **Từ tính chất của tam giác cân**:
- Trong tam giác cân, đường phân giác từ đỉnh tới đỉnh đối diện cũng là đường cao.

2. **Vì AI là đường phân giác**:
- Ta đã chứng minh \( AB = AC \). Do đó, \( AI \) không chỉ là phân giác mà còn là đường cao.

### Kết luận:

- Tam giác ABC là tam giác cân ( \( AB = AC \) ).
- AI là đường cao (vì AI là đồng thời là phân giác và trung tuyến).

Do đó, ta có:
- \( a. \) Tam giác ABC cân.
- \( b. \) AI là đường cao.

Kết thúc chứng minh!