Để tìm tập giá trị của hàm số

\[
A = \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{x - 4}
\]

có các điều kiện sau:

1. **Xác định miền xác định của hàm số:**
- Thứ nhất, biểu thức \(\sqrt{x}\) yêu cầu \(x \geq 0\) (để trong căn không có số âm).
- Thứ hai, mẫu số \(x - 4\) phải khác 0, nên \(x \neq 4\).

=> Miền xác định của hàm số là \(x \geq 0\) và \(x \neq 4\).

2. **Rút gọn biểu thức:**
- Xét tử số: \(x + 4\sqrt{x} + 4\) có thể viết lại dưới dạng hoàn thành bình phương:

\[
x + 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x} + 2)^2
\]

=> Hàm số trở thành:

\[
A = \frac{(\sqrt{x} + 2)^2}{x - 4}
\]

3. **Tìm tập giá trị:**
- Xét giới hạn của hàm số khi \(x\) tiến về 4 và các giá trị khác.
- Khi \(x\) tiến về 4 từ bên trái (ví dụ \(x = 4 - \epsilon\)), tử trở thành \((\sqrt{4} + 2)^2 = 16\) và mẫu tiến về 0 âm, do đó \(A \to -\infty\).
- Khi \(x\) tiến về 4 từ bên phải (ví dụ \(x = 4 + \epsilon\)), tử vẫn là 16 và mẫu tiến về 0 dương, do đó \(A \to +\infty\).

- Khi \(x \to \infty\), ta có:

\[
A \to \frac{\infty^2}{\infty} = \text{hằng số}
\]

Qua phân tích, giá trị của \(A\) sẽ biến thiên từ \(-\infty\) đến \(+\infty\) trừ khoảng giá trị tại \(x=4\).

=> Tập giá trị của \(A\) là \(\mathbb{R} \setminus \{y_0\}\) (với \(y_0\) là giá trị tại \(x=4\), có thể tìm ra bằng cách thay \(x=4\)).

Chúc bạn học tốt!