a) Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AI$ là trung tuyến nên $AI$ đồng thời là đường cao, do đó $AI \bot BC$. (1)

Vì tam giác $BCD$ cân tại $D$ có $DI$ là trung tuyến nên $DI$ đồng thời là đường cao, do đó $DI \bot BC$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC \bot \left( {AID} \right)$.

b) Vì $AH$ là đường cao của tam giác $AID$ nên $AH \bot ID$.

Lại có $BC \bot \left( {AID} \right)$ nên $BC \bot AH$.

Ta có $\left\{ \begin{gathered}

AH \bot ID \hfill \\

AH \bot BC \hfill \\

ID,\,BC \subset \left( {BCD} \right) \hfill \\

ID \cap BC = I \hfill \\

\end{gathered} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)$.

Từ đó suy ra $AH \bot BD$.