Ta có: DE⊥BC tại K nên K là trung điểm DE⇒Tứ giác BDCE có hai dường chéo BC, DE vuông góc nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒BDCE là hình thoi

Ta có: DBC^=BCE^ (so le trong ) (1)

BDA^=AIC^=900⇒BA,CA là đường kính (2)

Từ (1), (2) suy ra ΔBDA và ΔCIA có:

DBC^=BDA^=BCE^+AIC^⇒BAD^=CAI^ mà hai góc ở vị trí đối đỉnh và B, K, C thẳng hàng nên D, A, I thẳng hàng

ΔDIE vuông tại I có IK trung tuyến ⇒DK=KI⇒KID^=KDI^(3)

Mà KDI^=KCE^ (cùng phụ KEC^)4

Lại có KCE^=O'IC^ (ΔO'IC cân tại O') (5)

Từ (3), (4), (5)⇒KID^=O'IC^

⇒KID^+DIO'^=O'IC^+O'IA^⇒KIO'^=AIC^=900

Và I∈O'⇒KI là tiếp tuyến của (O')