Ta có: ∠PBN=12sdPC⏜+sdCN⏜ (góc nội tiếp cùng chắn PN⏜)

∠BCN=12sdAP⏜+sdBN⏜ (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Mà PC = AP và CN=BN(gt)⇒∠PBN=∠BCN

Dễ thấy ∠ANM=∠BNM (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) nên NI là phân giác ∠ANB

Ta có: AIIB=ANBN⇒AI.BN=IB.AN

Theo chứng minh trên (câu a, b) , ΔBNK cân có NI là đường phân giác . Do đó IN cũng là đường trung trực của cạnh BK⇒IB=IK⇒ΔBIK cân ⇒∠IBK=∠IKB hay ∠ABD=∠IKB1 mà ∠APB=∠CBP(2) (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Từ (1) và (2) suy ra ∠CBD=∠IKP⇒IK//BC