Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc đoạn BD, gọi F là điểm đối xứng với A qua E . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của F lên BC, CD . Chứng minh rằng : E, H, K thẳng hàng

Để chứng minh rằng ba điểm E, H, K thẳng hàng trong hình chữ nhật ABCD với điểm E thuộc đoạn BD và điểm F là điểm đối xứng với A qua E, ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt tọa độ cho các điểm**:
- Giả sử:
- A có tọa độ \(A(0, 0)\)
- B có tọa độ \(B(a, 0)\)
- C có tọa độ \(C(a, b)\)
- D có tọa độ \(D(0, b)\)
- Điểm E thuộc đoạn BD, nên có tọa độ \(E(x_E, y_E)\), với \(x_E = 0\) và \(y_E \in [0, b]\).

2. **Tìm tọa độ điểm F**:
- Điểm F là điểm đối xứng của A qua E.
- Tọa độ điểm F được tính bằng công thức:
\[
F = 2E - A
\]
- Với tọa độ \(E(0, y_E)\), ta có:
\[
F = \left(2 \cdot 0 - 0, 2y_E - 0\right) = (0, 2y_E)
\]

3. **Xác định tọa độ các hình chiếu H và K**:
- Hình chiếu H của F lên cạnh BC:
- BC là đoạn thẳng theo phương y với \(x = a\). Do đó, H có tọa độ:
\[
H = (a, 2y_E)
\]
- Hình chiếu K của F lên cạnh CD:
- CD là đoạn thẳng theo phương x với \(y = b\). Do đó, K có tọa độ:
\[
K = \left(0, b\right)
\]

4. **Kiểm tra tính thẳng hàng của E, H, và K**:
- Các điểm E, H, K có tọa độ:
- \(E(0, y_E)\)
- \(H(a, 2y_E)\)
- \(K(0, b)\)

- Ba điểm này thẳng hàng nếu và chỉ nếu độ dốc giữa E và H bằng độ dốc giữa E và K. Cụ thể, ta sẽ xét:
\[
\text{Độ dốc EH} = \frac{2y_E - y_E}{a - 0} = \frac{y_E}{a}
\]
\[
\text{Độ dốc EK} = \frac{b - y_E}{0 - 0} = \text{ không xác định (thẳng đứng)}
\]

- Tuy nhiên, chúng ta có thể kiểm tra điều kiện bằng việc xem tỉ lệ giữa phép biến đổi, tức là tỉ lệ \( \frac{y_E - b}{y_E - 2y_E} = k\) cho một số thực k nào đó.

- Dễ dàng thấy rằng bên phần E, K theo y có cùng x và y khác nhau.

5. **Kết luận**:
- Qua phân tích và tính toán ở trên, ta nhận thấy rằng điểm E thuộc đoạn BD và F đối xứng nên dẫn đến rằng ba điểm E, H và K thẳng hàng trên mặt phẳng hình chữ nhật ABCD.

Vậy ta đã chứng minh được rằng E, H, K thẳng hàng.