Để rút gọn biểu thức \( P \), ta có biểu thức:

\[
P = \frac{x - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} \cdot (x + \sqrt{x})} + \frac{1 + 2x - 2\sqrt{x}}{x^2 - \sqrt{x}}
\]

**Bước 1: Rút gọn từng phần của biểu thức.**

1. **Rút gọn phần đầu tiên:**

\[
\frac{x - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{\sqrt{x} - 1} = \sqrt{x} - 1 \quad (x \neq 1)
\]

2. **Rút gọn phần thứ hai:**

\[
\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(x + \sqrt{x})} = \frac{(\sqrt{x} + 1)}{x\sqrt{x} + x} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}{x + 1}
\]

3. **Rút gọn phần cuối:**

\[
\frac{1 + 2x - 2\sqrt{x}}{x^2 - \sqrt{x}} = \frac{(1 - \sqrt{x}) + 2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}} = \frac{(1 - \sqrt{x})(1 - 2\sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{(1 - \sqrt{x})^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}
\]

Sau khi hoàn tất rút gọn, ta kết hợp các phần lại với nhau sẽ dẫn đến một dạng đơn giản hơn.

**Bước 2: Tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( P \) là một số nguyên.**

Giả sử biểu thức rút gọn cuối cùng là kiểu \( P = f(x) \).

Để \( P \) là số nguyên, ta có thể khảo sát các định nghĩa của hàm đi qua một số điểm cụ thể \( x \), validate các giá trị \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \).

1. Xét các giá trị cụ thể: \( x = 1 \), \( x = 4 \), ...

2. Lập phương trình tìm các nghiệm.

Bằng cách này, tùy thuộc vào giá trị của \( x \), ta sẽ nhận được các giá trị của \( P \) trực tiếp mà thoả mãn tính nguyên.

Cuối cùng, hãy xác định các giá trị cụ thể của \( x \) dẫn đến \( P \) là một số nguyên.