Nhận thấy \[M,\,\,N\] là hai đoạn cùng có độ dài bằng 6, nên để \(M \cup N\) là một đoạn có độ dài bằng 10 thì ta có các trường hợp sau:

• TH1: \(2m - 1 \le m + 1 \le 2m + 5 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 4\,;\,\,2} \right]\) (1)

Khi đó, \(M \cup N = \left[ {2m - 1\,;\,\,m + 7} \right]\) nên \(M \cup N\) là một đoạn có độ dài bằng 10 khi:

\(\left( {m + 7} \right) - \left( {2m - 1} \right) = 10 \Rightarrow m =  - 2\) (thoả mãn \((1)).\)

• TH2: \(2m - 1 \le m + 7 \le 2m + 5 \Leftrightarrow m \in \left[ {2\,;\,\,8} \right]\,\,\,(2)\)

Khi đó \(M \cup N = \left[ {m + 1\,;\,\,2m + 5} \right]\) nên \(M \cup N\) là một đoạn có độ dài bằng 10 khi:

\(\left( {2m + 5} \right) - \left( {m + 1} \right) = 10 \Rightarrow m = 6\) (thoả mãn (2)).

Vậy tổng tất cả các giá trị của \(m\) để hợp của hai tập hợp \(M\) và \(N\) là một đoạn có độ dài bằng 10 là \( - 2 + 6 = 4.\)

Đáp án: 4.