Qua điểm M nằm ngoài (O), vẽ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC (tia MO nằm giữa hai tia MA và MB).
a) Chứng minh MA2 = MB.MC.
b) Kẻ AH vuông góc với OM tại H. Chứng minh MH.MO = MB.MC và tứ giác OHBC nội tiếp.
c) Tia BH cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Chứng minh C đối xứng K qua đường thẳng OM.
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Xét ∆ABM và ∆CAM, có:
\[\widehat M\] chung;
\(\widehat {MAB} = \widehat {MCA}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac = \frac\).
Vậy MA2 = MB.MC (điều phải chứng minh).
b) Ta có MA là tiếp tuyến của (O).
Suy ra \(\widehat {MAO} = 90^\circ \).
Tam giác MAO vuông tại A có AH là đường cao:
MA2 = MH.MO (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà MA2 = MB.MC (câu a).
Vậy MH.MO = MB.MC (điều phải chứng minh).
Xét ∆MBH và ∆MOC, có:
\[\widehat M\] chung;
\(\frac = \frac\) (do MH.MO = MB.MC).
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {MBH} = \widehat {MOC}\) (cặp góc tương ứng).
Vậy tứ giác OHBC cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi I là giao điểm của Mk và (O).
Ta có \(\widehat {CBK} = \widehat {CIK}\) (cùng chắn ).
Mà \(\widehat {MBK} + \widehat {KBC} = 180^\circ \) và \(\widehat {MIC} + \widehat {CIK} = 180^\circ \).
Suy ra \(\widehat {MBK} = \widehat {MIC}\).
Xét ∆MIC và ∆MBK, có:
\(\widehat M\) chung;
\(\widehat {MBK} = \widehat {MIC}\) (chứng minh trên).
Do đó (g.g).
Suy ra \(\frac = \frac = \frac\)
\( \Leftrightarrow \frac = \frac = \frac\)
\( \Leftrightarrow \frac = \frac = \frac\).
Xét ∆MIB và ∆MKC, có:
\(\widehat M\) chung;
\(\frac = \frac\) (chứng minh trên).
Do đó (c.g.c).
Suy ra \(\widehat {MIB} = \widehat {MKC}\) (cặp góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
Do đó IB // KC.
Vì vậy .
Suy ra \(\widehat {ICK} = \widehat {BKC}\).
Do đó tam giác HKC cân tại H.
Vì vậy HK = HC.
Mà OK = OC (= R).
Khi đó HO là đường trung trực của đoạn thẳng KC.
Vậy C đối xứng K qua đường thẳng OM.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |