Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow BM = \frac{1}{3}BC\) và \(M \in BC\).

Lấy E là trung điểm MC.

\( \Rightarrow EM = EC = \frac{1}{2}MC = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}BC = \frac{1}{3}BC\) nên BM = ME = EC.

Þ M là trung điểm BE.

Ta có D, E là trung điểm AC, CM

Þ DE là đường trung bình ΔAMC

Þ DE // AM.

Gọi AM ∩ BD = F.

Þ DE // MF

Mà M là trung điểm BE

Þ MF là đường trung bình ΔBDE

Þ F là trung điểm BD

Ta có: AC = 2AB, D là trung điểm AC

Þ \(AD = AB = \frac{1}{2}AC\)

Þ ΔABD cân tại A.

Mà F là trung điểm BD nên ΔABD cân tại A có đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

Do đó AF ⊥ BD.

Suy ra AM ⊥ BD.