Lời giải

a) Ta có \(\widehat {AMQ} = \widehat {MPQ}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung) và \(\widehat {QAK} = \widehat {MPQ}\) (do AK // MP).

Suy ra \(\widehat {AMQ} = \widehat {QAK}\).

Xét ∆AKQ và ∆MAK, có:

\(\widehat {AMQ} = \widehat {QAK}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {AKQ}\) chung.

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac = \frac = \frac\).

\[ \Leftrightarrow \frac = \frac = \frac\]

\[ \Leftrightarrow \frac = \frac = \frac\]

\[ \Leftrightarrow \frac = \frac = \frac\].

Vậy AK² = KQ.KM (điều phải chứng minh).

b) Xét ∆KQN và ∆KNM, có:

\(\widehat {KNQ} = \widehat {KMN}\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung);

\(\widehat {MKN}\) chung.

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac = \frac = \frac\).

Do đó KN² = KQ.KM.

Mà AK² = KQ.KM (câu a).

Suy ra KN = AK.

Vậy K là trung điểm AN.