Giả sử z=x+yi x,y∈ℝ 

Khi đó z−2+6iz+z¯i+2=x−2+y+6i2+2xi=x−2+y+6i1−xi21+x2 

=x−2+xy+6+−xx−2+y+6i21+x2 

Ta có z−2+6iz+z¯i+2 là số thực ⇔−xx−2+y+6=0 

⇔y=x2−2x−6⇔2y=12.4x2−2.2x−6 

Số phức 2z có điểm biểu diễn M2x;2y⇒Quỹ tích các điểm M là parabol có phương trình P:y=12x2−2x−6 

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và trục hoành, ta có

12x2−2x−6=0⇔x=6x=−2

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành là

S=∫−2612x2−2x−6dx=−∫−2612x2−2x−6dx=1283