a)

Gọi A(1; 0), B(3; 0), C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Khi đó C(3; 4), D(1; 2).

Ta có S(3) là diện tích của hình thang vuông ABCD với đáy bé AD = 2; đáy lớn BC = 4 và đường cao AB = 2.

Do đó \(S\left( 3 \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {2 + 4} \right).2}}{2} = 6\).

b)

Tương tự như câu a, ta có A(1; 0), B(x; 0), C(x; x + 1), D(1; 2).

Ta có S(x) là diện tích hình thang ABCD với đáy bé AD = 2, đáy lớn BC = x + 1 và đường cao AB = x – 1.

Do đó \(S\left( x \right) = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}{2} = \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}\), x ≥ 1.

c) Có \(S'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{2}} \right)^\prime } = \frac{2} = x + 1 = f\left( x \right)\).

Do đó S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [1; +∞).

d) Vì F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên

\(F\left( x \right) = \int {\left( {x + 1} \right)dx = \frac{{{x^2}}}{2} + x + C} \).

Do đó \(F\left( 3 \right) = \frac{{{3^2}}}{2} + 3 + C = \frac{2} + C\); \(F\left( 1 \right) = \frac{{{1^2}}}{2} + 1 + C = \frac{3}{2} + C\).

Suy ra \(F\left( 3 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{2} + C - \left( {\frac{3}{2} + C} \right) = 6 = S\left( 3 \right)\).

Để tính S(3), ta cần tìm nguyên hàm F(x) của f(x) và tính S(3) = F(3) – F(1).