a) Ta có AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau

Nên AM = AN

Lại có: ABC là cát tuyến của (O)

Nên AM² = AN² = AB.AC

b) Dễ thấy OA vuông góc với MN tại trung điểm MN

⇒ OA vuông góc với MN tại F

Ta có \(\widehat {OMA} = \widehat {ONA} = \widehat {OEA} = \) 90°.

⇒ M, N, E đều thuộc đường tròn đường kính OA

⇒ EMAB nội tiếp

⇒ \(\widehat {EMN} = \widehat {EAN}\)(1)

Gọi Nt là tia đối của tia AN

Ta có (vì Nt là tiếp tuyến) (2)

Từ (1) và (2)

⇒ \(\widehat {EAN} = \widehat {INt}\)

⇒ IN//AE hay IN//AB

c) Gọi K là giao điểm của BC với MN

Ta có tứ giác OFKE nội tiếp trong đường tròn đường kính OK

Xét ∆AOE và ∆AFK có:

Chung \(\widehat A\)

\(\widehat {AFK} = \widehat {AEO} = 90^\circ \)

⇒ ∆AOE ∽ ∆AKF (g.g)

⇒ \(\frac = \frac\)

Suy ra: AK.AE = AF.AO

Mà AF.AO = AM² = AB.AC

Suy ra: AK.AE = AB.AC không đổi

Vì AK không đổi nên K cố định

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF là trung điểm của OK cố định.