Lời giải

a) Xét tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // AC, \(MN = \frac{1}{2}AC\)   (1)

Chứng minh tương tự, ta có: QP//AC, \(QP = \frac{1}{2}AC\)    (2)

QM // BD, \(QM = \frac{1}{2}BD\)    (3)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Khi ABCD là tam giác cân với AB // CD ta có AC = BD.

Từ (3) suy ra: \(QM = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC = MN\) (4)

Theo câu a) MNPQ là hình bình hành mà mặt khác tứ giác MNPQ có QM = MN mà QM và MN là hai cạnh kề nên suy ra MNPQ là hình thoi.

Do đó MP là tia phân giác của \(\widehat {QMN}\) theo tính chất của hình thoi.