Ta có:

a4x−log5x2≤2540−y2

⇔ log5a4x−log5a2≤log52540−y2

⇔ 4x−2log5alog5≤240−y2

⇔ log52a−2xlog5a+40−y2≥0 (*) 

Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn log₅a

Để (*) đúng với mọi số thực dương a thì:

∆' ≤ 0 ⇔ x² – (40 – y²) ≤ 0 ⇔ x² + y² – 40 ≤ 0 (1)

Ta có biểu thức (1) là hình tròn (C₁) tâm O(0;0), bán kình R₁ = 210

Mặt khác P = x² + y² + x – 3y ⇔ x² + y² + x – 3y – P = 0 là phương trình đường trogn (C₂) tâm I−12;32 , bán kính R₂ = 1210+4P

Để tồn tại điểm chung của đường tròn (C₁) và (C₂) thì:

R₂ ≤ R₁ + OI ⇔ 1210+4P ≤ 210  + 1210

⇔ 10+4P≤510 ⇔ P ≤ 60.

Vậy P_max = 60.