Ta có: \(\frac{{\sin 3x}}{{\cos x + 1}} = 0\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\\cos x \ne - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}3x = k\pi \\x \ne \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \pi + k2\pi \end{array} \right.\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Mà x ∈ [2π,4π] nên: 2π ≤ \(k\frac{\pi }{3}\) ≤ 4π \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Hay: 6 ≤ k ≤ 12

Số nghiệm thỏa mãn điều kiện là: \(\left\{ {2\pi ;\frac{7}{3}\pi ;\frac{8}{3}\pi ;3\pi ;\frac{3}\pi ;\frac{3}\pi ;4\pi } \right\}\)

Loại nghiệm 3π so với điều kiện

Vậy có 6 nghiệm thỏa mãn.