Để xét tính chẵn lẻ của các hàm số, ta sử dụng định nghĩa:

- Hàm số \( f(x) \) là hàm chẵn nếu \( f(-x) = f(x) \) với mọi \( x \) trong miền xác định.
- Hàm số \( f(x) \) là hàm lẻ nếu \( f(-x) = -f(x) \) với mọi \( x \) trong miền xác định.

Xét từng hàm số:

### a) \( y = \tan x + \cot x \)

- Tính \( f(-x) \):
\[
f(-x) = \tan(-x) + \cot(-x) = -\tan x - \cot x = -(\tan x + \cot x) = -f(x)
\]
=> Hàm \( y = \tan x + \cot x \) là hàm lẻ.

### b) \( y = \sin\left(2x + \frac{9\pi}{2}\right) \)

- Tính \( f(-x) \):
\[
f(-x) = \sin\left(2(-x) + \frac{9\pi}{2}\right) = \sin\left(-2x + \frac{9\pi}{2}\right)
\]
Ta có \( \sin\left(-\theta\right) = -\sin(\theta) \), do đó:
\[
f(-x) = -\sin\left(2x - \frac{9\pi}{2}\right)
\]
Điều này không bằng với \( f(x) \) hoặc \(-f(x)\), vì vậy hàm này không chẵn cũng không lẻ.

### c) \( y = \frac{\sin^{2020n}(x)}{\cos(x)} + 2020 \) (với \( n \in \mathbb{Z} \))

- Tính \( f(-x) \):
\[
f(-x) = \frac{\sin^{2020n}(-x)}{\cos(-x)} + 2020 = \frac{(-\sin x)^{2020n}}{\cos x} + 2020 = \frac{\sin^{2020n}(x)}{\cos x} + 2020 = f(x)
\]
=> Hàm \( y = \frac{\sin^{2020n}(x)}{\cos(x)} + 2020 \) là hàm chẵn.

### Tóm tắt:
- a) Hàm lẻ
- b) Không chẵn không lẻ
- c) Hàm chẵn