Để tìm hai số tự nhiên \( a \) và \( b \) biết tổng bằng 84 và ước chung lớn nhất (UCLN) bằng 6, ta có thể bắt đầu bằng cách lưu ý rằng:

1. \( a + b = 84 \)
2. \( UCLN(a, b) = 6 \)

Vì \( UCLN(a, b) = 6 \), ta có thể biểu diễn \( a \) và \( b \) dưới dạng:

\[
a = 6m \quad \text{và} \quad b = 6n
\]

với \( m \) và \( n \) là các số tự nhiên và \( UCLN(m, n) = 1 \).

Thay vào phương trình tổng:

\[
6m + 6n = 84
\]

Chia cả hai vế cho 6:

\[
m + n = 14
\]

Tìm các cặp \( (m, n) \) thỏa mãn \( m + n = 14 \) và \( UCLN(m, n) = 1 \):

- \( (1, 13) \)
- \( (2, 12) \)
- \( (3, 11) \)
- \( (4, 10) \)
- \( (5, 9) \)
- \( (7, 7) \)

Kiểm tra từng cặp:

1. **Cặp \( (1, 13) \)**: \( UCLN(1, 13) = 1 \) → hợp lệ.
2. **Cặp \( (2, 12) \)**: \( UCLN(2, 12) = 2 \) → không hợp lệ.
3. **Cặp \( (3, 11) \)**: \( UCLN(3, 11) = 1 \) → hợp lệ.
4. **Cặp \( (4, 10) \)**: \( UCLN(4, 10) = 2 \) → không hợp lệ.
5. **Cặp \( (5, 9) \)**: \( UCLN(5, 9) = 1 \) → hợp lệ.
6. **Cặp \( (7, 7) \)**: \( UCLN(7, 7) = 7 \) → không hợp lệ.

Do đó, các cặp \( (m, n) \) hợp lệ là:

1. \( (1, 13) \): \( a = 6 \times 1 = 6, b = 6 \times 13 = 78 \)
2. \( (3, 11) \): \( a = 6 \times 3 = 18, b = 6 \times 11 = 66 \)
3. \( (5, 9) \): \( a = 6 \times 5 = 30, b = 6 \times 9 = 54 \)

Vậy các cặp số tự nhiên thỏa mãn đều là:

- \( (6, 78) \)
- \( (18, 66) \)
- \( (30, 54) \)

Các số này có tổng bằng 84 và UCLN bằng 6.