a) Xét ∆OCD có OC = OD nên ∆OCD cân tại O, suy ra đường trung tuyến OI của tam giác cũng đồng thời là đường cao, hay OIC^=OID^=90°.

Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) với B là tiếp điểm nên OB ⊥ AB. Suy ra OBE^=90°

Xét ∆EOB và ∆EAI có:

OBE^=EIA^ =90° và E^  là góc chung

Do đó ∆EOB ᔕ ∆EAI (g.g)

Suy ra EBEI=EOEA  hay EB . EA = EI . EO.

b) Gọi R là bán kính đường tròn (O).

Xét ∆OAB vuông tại B, theo định lí Pythagore, ta có: OA² = OB² + AB²

Suy ra AB² = OA² ‒ OB² = OA² ‒ R².

Mặt khác, ta có: AC.AD = (AI ‒ CI)(AI + DI)

Mà CI = DI (do I là trung điểm của CD)

Suy ra: AC.AD = (AI ‒ CI)(AI + CI) = AI² ‒ CI²

Xét ∆OAI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có: OA² = OI² + AI²

Suy ra AI² = OA² ‒ OI².

Xét ∆OCI vuông tại I, theo định lí Pythagore, ta có: OC² = OI² + CI²

Suy ra CI² = OC² ‒ OI².

Do đó AC.AD = (OA² ‒ OI²) ‒ (OC² ‒ OI²)

= OA² ‒ OI² ‒ OC² + OI²

= OA² – OC² = OA² ‒ R².

Do đó AB² = AC. AD (vì cùng bằng OA² ‒ R²).